Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
（1）求f（x）在[-3，3]上的最大值；
（2）設(shè)方程f（x）=a有且僅有一個解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=x²-2x-3，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在[-3，3]上的最大值．
（2）由f′（x）=x²-2x-3＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞），減區(qū)間為（-1，3），且f（x）_極大值=f（-1）=

5

3

，f（x）_極小值=f（3）=-9，由此能求出方程f（x）=a有且僅有一個解，a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-x²-3x，
∴f′（x）=x²-2x-3，
由f′（x）=x²-2x-3=0，得x=-1，或x=3，
∵f（-3）=-9，f（-1）=

5

3

，f（3）=-9，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值為f（-1）=

5

3

．
（2）由f′（x）=x²-2x-3＞0，得x＜-1，或x＞3，
由f′（x）=x²-2x-3＜0，得-1＜x＜3，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞），減區(qū)間為（-1，3），
且f（x）_極大值=f（-1）=

5

3

，f（x）_極小值=f（3）=-9，
∴方程f（x）=a有且僅有一個解，a的取值范圍是（-∞，-9]∪[

5

3

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．