Question

17．已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，記f（x）=g（|x|），x∈R；
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）若不等式$f（x）+g（x）≥log_2^2k-2{log_2}k-3$對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍；
（3）對(duì)于定義在[p，q]上的函數(shù)m（x），設(shè)x₀=p，x_n=q，用任意x_i（i=1，2，…，n-1）將[p，q]劃分成n個(gè)小區(qū)間，其中x_i-1＜x_i＜x_i+1，若存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得不等式|m（x₀）-m（x₁）|+|m（x₁）-m（x₂）|+…+|m（x_n-1）-m（x_n）|≤M恒成立，則稱函數(shù)m（x）為在[p，q]上的有界變差函數(shù)，試證明函數(shù)f（x）是在[1，3]上的有界變差函數(shù)，并求出M的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知中g(shù)（x）在區(qū)間[2，3]的最大值為4，最小值為1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值，我們易構(gòu)造出關(guān)于a，b的方程組，解得a，b的值；
（2）求出f（x），$f（x）+g（x）≥log_2^2k-2{log_2}k-3$對(duì)任意x∈R恒成立等價(jià)于F（x）_min=f（x）+g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍；
根據(jù)有界變差函數(shù)的定義，我們先將區(qū)間[1，3]進(jìn)行劃分，進(jìn)而判斷$\sum_{i=1}^{n}$|m（xi）-m（xi-1）|≤M是否恒成立，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b，
∵a＞0，對(duì)稱軸x=1，
∴g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，
又∵函數(shù)g（x）故在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×{2}^{2}-2a×2+1+b=1}\\{a×{3}^{2}-2a×3+1+b=4}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=0．
∴g（x）=x²-2x+1
故實(shí)數(shù)a的值為1，b的值為0．
（2）由（1）可知g（x）=x²-2x+1，
∵f（x）=g（|x|），
∴f（x）=x²-2|x|+1，
∵$f（x）+g（x）≥log_2^2k-2{log_2}k-3$對(duì)任意x∈R恒成立，
令F（x）=f（x）+g（x）=x²-2x+1+x²-2|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-4x+2，（x≥0）}\\{2{x}^{2}+2，（x＜0）}\end{array}\right.$
根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得F（x）_min=f（1）=0
則F（x）_min≥$（lo{g}_{2}k）^{2}-2lo{g}_{2}k-3$恒成立，即：$（lo{g}_{2}k）^{2}-2lo{g}_{2}k-3$≤0
令log₂k=t，
則有：t²-2t-3≤0，
解得：-1≤t≤3，
即$lo{g}_{2}\frac{1}{2}≤lo{g}_{2}k≤lo{g}_{2}8$，
得：$\frac{1}{2}≤k≤8$
故得實(shí)數(shù)k的范圍為$[\frac{1}{2}，8]$．
（3）函數(shù)f（x）為[1，3]上的有界變差函數(shù)．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為[1，3]上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對(duì)任意劃分T：1=x₀＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=3
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜…＜f（x_I）＜…＜f（x_n）=f（3）
所以$\sum_{i=1}^{n}$|m（xi）-m（xi-1）|=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）＜…＜f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x_n）-f（x₀）=f（3）-f（1）=4恒成立，
所以存在常數(shù)M，使得$\sum_{i=1}^{n}$|m（xi）-m（xi-1）|≤M是恒成立．
M的最小值為4，即M_min=4；

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，新定義，其中（1）的關(guān)鍵是分析出函數(shù)的單調(diào)性，（2）要用轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)（3）的關(guān)鍵是真正理解新定義的含義．