Question

某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì)：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線，在拋物線上任意畫一個(gè)點(diǎn)，度量點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖．

（Ⅰ）拖動(dòng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，，試求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點(diǎn)、，構(gòu)造直線、分別交準(zhǔn)線于、兩點(diǎn)，構(gòu)造直線、．經(jīng)觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動(dòng)點(diǎn)，恒有.請(qǐng)你證明這一結(jié)論．
（Ⅲ）為進(jìn)一步研究該拋物線的性質(zhì)，某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點(diǎn)”改變?yōu)槠渌�“定點(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“與不再平行”．是否可以適當(dāng)更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請(qǐng)寫出相應(yīng)的正確命題；否則，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組證明，所以
（Ⅲ）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，則

試題分析：解法一：（Ⅰ）把，代入，得，          2分
所以，                                                                3分
因此，拋物線的方程．                                              4分
（Ⅱ）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，設(shè)，
依題意可設(shè)直線，
由得，則 ①                      6分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005829236779.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，，
所以，，                         7分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240058293461498.png" style="vertical-align:middle;" />                                   8分


，  ②
把①代入②，得，                                   10分
即，
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005828285405.png" style="vertical-align:middle;" />、、、四點(diǎn)不共線，所以．                        11分
（Ⅲ）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，則 ．                                                             14分
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，設(shè)，                5分
依題意,可設(shè)直線，
由得，
則
所以                                                         7分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005830141751.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，，                                            10分
所以，，  
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005828285405.png" style="vertical-align:middle;" />、、、四點(diǎn)不共線，所以.                          11分
（Ⅲ）同解法一.                                                            14分
解法三：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，設(shè)，
依題意，設(shè)直線，
由得，則，                         6分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005829236779.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005830562835.png" style="vertical-align:middle;" />，                9分
所以，所以平行于軸；
同理可證平行于軸；
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005828285405.png" style="vertical-align:middle;" />、、、四點(diǎn)不共線，所以.                         11分
（Ⅲ）同解法一.                                                           14分
點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線問題在高考中每年必考，且一般出在壓軸題的位置上，難度較低，主要考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等。