(2013•海淀區(qū)一模)在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn),又∠CAD=30°,PA=AB=4,點(diǎn)N在線段PB上,且
PN
NB
=
1
3

(Ⅰ)求證:BD⊥PC;
(Ⅱ)求證:MN∥平面PDC;
(Ⅲ)設(shè)平面PAB∩平面PCD=l,試問直線l是否與直線CD平行,請說明理由.
分析:(Ⅰ)通過證明BD⊥平面PAC,然后證明BD⊥PC;
(Ⅱ)通過證明線段成比例證明MN∥PD,利用直線 平面平行的判定定理證明MN∥平面PDC;
(Ⅲ)利用反證法證明直線l∥CD,推出CD∥AB與CD與AB不平行矛盾從而說明直線l與直線CD不平行.
解答:解:(I)證明:(I) 因?yàn)椤鰽BC是正三角形,M是AC中點(diǎn),
所以BM⊥AC,即BD⊥AC…(1分)
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,PA⊥BD…(2分)
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC…(4分)
又PC?平面PAC,所以BD⊥PC…(5分)
(Ⅱ)在正三角形ABC中,BM=2
3
…(6分)
在△ACD,因?yàn)镸為AC中點(diǎn),DM⊥AC,所以AD=CD
∠CAD=30°,所以,DM=
2
3
3
,所以BM:MD=3:1…(8分)
所以BN:NP=BM:MD,所以MN∥PD…(9分)
又MN?平面PDC,PD?平面PDC,所 以MN∥平面PDC…(11分)
(Ⅲ)假設(shè)直線l∥CD,因?yàn)閘?平面PAB,CD?平面PAB,
所以CD∥平面PAB…(12分)
又CD?平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以CD∥AB…(13分)
這與CD與AB不平行,矛盾
所以直線l與直線CD不平行…(14分)
點(diǎn)評:本題考查在與平面垂直與平行的判定定理的應(yīng)用,反證法的應(yīng)用,考查空間想象能力與邏輯推理能力.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•海淀區(qū)一模)已知a>0,下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,a)上一定是減函數(shù)的是(  )

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(2013•海淀區(qū)一模)在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn),又PA=AB=4,∠CDA=120°,點(diǎn)N在線段PB上,且PN=
2

(Ⅰ)求證:BD⊥PC;
(Ⅱ)求證:MN∥平面PDC;
(Ⅲ)求二面角A-PC-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•海淀區(qū)一模)函數(shù)f(x)=
13
x3-kx,其中實(shí)數(shù)k為常數(shù).
(I) 當(dāng)k=4時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II) 若曲線y=f(x)與直線y=k只有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•海淀區(qū)一模)已知圓M:(x-
2
2+y2=
7
3
,若橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為圓M的圓心,離心率為
2
2

(I)求橢圓C的方程;
(II)已知直線l:y=kx,若直線l與橢圓C分別交于A,B兩點(diǎn),與圓M分別交于G,H兩點(diǎn)(其中點(diǎn)G在線段AB上),且|AG|=|BH|,求k的值.

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