Question

（2013•海淀區(qū)一模）函數(shù)f（x）=

1

3

x³-kx，其中實(shí)數(shù)k為常數(shù)．
（I） 當(dāng)k=4時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II） 若曲線y=f（x）與直線y=k只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可；
（II）將題中條件：“函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k只有一個(gè)公共點(diǎn)，”等價(jià)于“g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)”，利用導(dǎo)數(shù)求得原函數(shù)的極值，最后要使g（x）的其圖象和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，得到關(guān)于k的不等關(guān)系，從而求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（I）因?yàn)閒′（x）=x²-k…（2分）
當(dāng)k=4時(shí)，f′（x）=x²-4，令f′（x）=x²-4=0，所以x=-2或x=2
f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

…（4分）
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2），（2，+∞）
單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，2）…（6分）
（II）令g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)…（7分）
因?yàn)間′（x）=f′（x）=x²-k
當(dāng)k=0時(shí)，g（x）=x³，所以g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)0                …（8分）
當(dāng)k＜0時(shí)，g′（x）=x²-k＞0對x∈R成立，
所以g（x）單調(diào)遞增，所以g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)…（9分）
當(dāng)k＞0時(shí)，令g′（x）=f′（x）=x²-k
=0，解得x=

k

或x=-

k

…（10分）
所以情況如下表：

x	（-∞，- k ）	- k	（- k ， k ）	k	（ k ，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	極大值	減	極小值	增

g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于g（-

k

）＜0…（11分）
即g（-

k

）=

2

3

k

k

＜0，解得0＜k＜

9

4

…（12分） 
綜上所述，k的取值范圍是k＜

9

4

…（13分）

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)在極值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．