Question

17．已知f（x）=sin²x+sinxcosx，則f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間分別為π，[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的降冪公式與輔助角公式可將f（x）=sin²x+sinxcosx化為：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，利用周期公式即可求得其周期．然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=sin²x+sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
∴其最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z）
得：-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，（k∈Z）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．
故答案為：π，[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．

點評 本題考查三角函數(shù)的降冪公式與輔助角公式，考查三角函數(shù)的周期其求法，解決本題的關(guān)鍵是利用公式把函數(shù)化成正弦型函數(shù)的標準形式，屬于基礎(chǔ)題．