Question

橢圓x²+

y2

4

=1短軸的左右兩個端點分別為A，B，直線l過定點（0，1）交橢圓于兩點C，D．
（1）若l與x軸、y軸分別交于兩點E，F，

CE

=

FD

，求直線l的方程：
（2）設直線AD，CB的斜率分別為k₁k₂，若k₁：k₂=2：1，求k的值．
（3）（理）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），分別過C、D作斜率為-

4x1

y1

和-

4x2

y2

兩條直線l₁和l₂．記l₁和l₂的交點為M，求△MCD面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直線代入橢圓方程得（4+k²）x²+2kx-3=0，再由判別式和根與系數的關系可推導出所求直線l的方程為2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（2）由題設知y₁²=4（1-x₁²），y₂²=4（1-x₂²），由此推出3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，所以3k²-10k+3=0，由此可推導出k的值．
（3）求出M的軌跡方程，結合圖形，可得△MCD面積的最小值．

解答： 解：（1）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直線l：y=kx+1
代入橢圓方程得（4+k²）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（4+k²）=16k²+48，
x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁x₂=-

3

4+k2

由已知E（-

1

k

，0），F（0，1），
又

CE

=

FD

，所以（-

1

k

-x₁，-y₁）=（x₂，y₂-1），
所以-

1

k

-x₁=x₂，即x₁+x₂=-

1

k

所以-

2k

4+k2

=-

1

k

，解得k=±2，符合題意，
所以，所求直線l的方程為2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（2）k₁=

y2

x2+1

，k₂=

y1

x1-1

，k₁：k₂=2：1，
所以

y2(x1-1)

y1(x2+1)

=2，
平方，結合x₁²+

y12

4

=1，所以y₁²=4（1-x₁²），同理y₂²=4（1-x₂²），代入上式，
計算得

(1-x2)(1-x1)

(1+x1)(1+x2)

=4，即3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，
所以3k²-10k+3=0，解得k=3或k=

1

3

，
因為

y2(x1-1)

y1(x2+1)

=2，x₁，x₂∈（-1，1），所以y₁，y₂異號，故舍去k=

1

3

，
所以k=3．
（3）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），分別過C、D作斜率為-

4x1

y1

和-

4x2

y2

兩條直線l₁和l₂，方程為4x₁x+y₁y-4=0，4x₂x+y₂y-4=0，∴M的軌跡方程為y=4，
由y=1可得x=±

3

2

，∴CD∥x軸時，△MCD面積的最小值為

1

2

×

3

×3=

3 3

2

．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合運用，是歷年高考題的重要題型之一，解題時要注意計算能力的培養(yǎng)，注意積累解題方法．