Question

10．已知f（m）=（3m-1）a+b-2m，當m∈[0，1]時，f（m）≤1恒成立，則a+b的最大值是$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 把已知函數(shù)解析式變形，結合當m∈[0，1]時，f（m）≤1恒成立，得到關于a，b的約束條件，然后利用線性規(guī)劃知識求得a+b的最大值．

解答 解：f（m）=（3m-1）a+b-2m=（3a-2）m-a+b，
∵當m∈[0，1]時，f（m）≤1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-a+b≤1}\\{f（1）=2a+b-2≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1≥0}\\{2a+b-3≤0}\end{array}\right.$．
畫出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{2a+b-3=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{2}{3}，\frac{5}{3}$），
令z=a+b，化為b=-a+z，
由圖可知，當直線b=-a+z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為$\frac{2}{3}+\frac{5}{3}=\frac{7}{3}$．
故答案為：$\frac{7}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學轉化思想方法，訓練了利用線性規(guī)劃知識求最值，是中檔題．