【題目】已知函數(shù)f(x)=x2bxc(b,cR),對任意的xR,恒有f′(x)≤f(x).

(1)證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤(xc)2;

(2)若對滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2b2)恒成立,求M的最小值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】(1)易知f′(x)=2xb.由題設(shè),對任意的xR,2xbx2bxc,即x2+(b-2)xcb≥0恒成立,所以(b-2)2-4(cb)≤0,從而c+1.于是c≥1,

c≥2 =|b|,因此2cbc+(cb)>0.

故當(dāng)x≥0時(shí),有(xc)2f(x)=(2cb)xc(c-1)≥0.即當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤(xc)2.

(2)由(1)知c≥|b|.當(dāng)c>|b|時(shí),有

M

t,則-1<t<1,=2-.

而函數(shù)g(t)=2- (-1<t<1)的值域是.

因此,當(dāng)c>|b|時(shí),M的取值集合為.

當(dāng)c=|b|時(shí),由(1)知b=±2,c=2.此時(shí)f(c)-f(b)=-8或0,c2b2=0,從而f(c)-f(b)≤ (c2b2)恒成立.

綜上所述,M的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(1)在圓內(nèi)直徑所對的圓周角是直角.此定理在橢圓內(nèi)(以焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式為例)可表述為“過橢圓的中心的直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn),當(dāng)直線,斜率存在時(shí),它們之積為定值.”試求此定值;

(2)在圓內(nèi)垂直于弦的直徑平分弦.類比(1)將此定理推廣至橢圓,不要求證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】海水受日月的引力,在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表:

時(shí)刻

200

500

800

1100

1400

1700

2000

2300

水深(米)

7.5

5.0

2.5

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

經(jīng)長期觀測,這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系,可近似用函數(shù)ft)=Asinωt++b來描述.

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出函數(shù)ft)=Asinωt++b的表達(dá)式;

2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4.25米,安全條例規(guī)定至少要有2米的安全間隙(船底與洋底的距離),該船在一天內(nèi)(0002400)何時(shí)能進(jìn)入港口然后離開港口?每次在港口能停留多久?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且在軸上截得的弦長為4.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;

(2)點(diǎn)為軌跡上任意一點(diǎn),直線為軌跡上在點(diǎn)處的切線,直線交直線于點(diǎn),過點(diǎn)交軌跡于點(diǎn),求的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列事件是隨機(jī)事件的是(  )

當(dāng)x>10時(shí),當(dāng)xR,x2+x0有解

當(dāng)aR關(guān)于x的方程x2+a0在實(shí)數(shù)集內(nèi)有解;當(dāng)sinα>sinβ時(shí),α>β

A.①②B.②③C.③④D.①④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)過原點(diǎn)作函數(shù)的切線,求的方程;

(Ⅱ)若對于任意恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,某區(qū)有一塊空地,其中,.當(dāng)?shù)貐^(qū)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn),擬在中間挖一個(gè)人工湖,其中都在邊上,且,挖出的泥土堆放在地帶上形成假山,剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場.為安全起見,需在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).

1)當(dāng)時(shí),求防護(hù)網(wǎng)的總長度;

2)若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍,試確定的大;

3)為節(jié)省投入資金,人工湖的面積要盡可能小,問如何設(shè)計(jì)施工方案,可使的面積最小?最小面積是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本小題共13分)

已知1, ,對于, 表示UV中相對應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù).

)令,存在m個(gè),使得,寫出m的值;

)令,若,求證:

)令,若,求所有之和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線 , ,動(dòng)點(diǎn)分別在直線, 上移動(dòng), 是線段的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)設(shè)不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的直線交軌跡于點(diǎn),點(diǎn)滿足,若點(diǎn)在軌跡上,求四邊形的面積.

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