Question

已知向量

p

=（x，a-3），

q

=（x，x+a）f（x）=

p

•

q

，且m，n是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（a）=m³+n³+a³，求g（a）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的零點(diǎn),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和一元二次方程實(shí)數(shù)根與△的關(guān)系即可得出；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，g（a）轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由題意知：f（x）=

p

•

q

=x²+（a-3）x+a²-3a，
∵m、n是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0，
∴-1≤a≤3．
（2）由題意知：m+n=3-a，mn=a²-3a，
∴g（a）=m³+n³+a³=（m+n）[（m+n）²-3mn]+a³=（3-a）[（3-a）²-3（a²-3a）]+a³=3a³-9a²+27，a∈[-1，3]，
故g'（a）=9a²-18a，
令g'（a）=0，∴a=0或a=2，
從而在[-1，0），（2，3]上g'（a）＞0，g（a）為增函數(shù)，
在（0，2）上g'（a）＜0，g（a）為減函數(shù)，
∴a=2為極小值點(diǎn)，∴g（2）=15，又g（-1）=15．
∴g（a）的最小值為15．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、一次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的解集與根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．