Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)為⊙O上的點，CA是∠BAF的角平分線，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于D點，CM⊥AB，垂足為點M．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）求證：AM•MB=DF•DA．

Answer 1

分析：（1）證明DC是⊙O的切線，就是要證明CD⊥OC，根據(jù)CD⊥AF，我們只要證明OC∥AD；
（2）首先，我們可以利用射影定理得到CM²=AM•MB，再利用切割線定理得到DC²=DF•DA，根據(jù)證明的結(jié)論，只要證明DC=CM．

解答：證明：（1）連接OC，∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分線，
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AD．…（3分）
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切線．…（5分）
（2）連接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM²=AM•MB．
又∵DC是⊙O的切線，∴DC²=DF•DA．
∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC
∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM•MB=DF•DA…（10分）

點評：幾何證明選講重點考查相似形，圓的比例線段問題，一般來說都比較簡單，只要掌握常規(guī)的證法就可以了．