已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)
(Ι)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn),求m,并討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)m≤2時,證明f(x)>0.

(Ⅰ)解:∵,x=0是f(x)的極值點(diǎn),∴,解得m=1.
所以函數(shù)f(x)=ex-ln(x+1),其定義域為(-1,+∞).

設(shè)g(x)=ex(x+1)-1,則g(x)=ex(x+1)+ex>0,所以g(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù),
又∵g(0)=0,所以當(dāng)x>0時,g(x)>0,即f(x)>0;當(dāng)-1<x<0時,g(x)<0,f(x)<0.
所以f(x)在(-1,0)上為減函數(shù);在(0,+∞)上為增函數(shù);
(Ⅱ)證明:當(dāng)m≤2,x∈(-m,+∞)時,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需證明當(dāng)m=2時f(x)>0.
當(dāng)m=2時,函數(shù)在(-2,+∞)上為增函數(shù),且f(-1)<0,f(0)>0.
故f(x)=0在(-2,+∞)上有唯一實(shí)數(shù)根x0,且x0∈(-1,0).
當(dāng)x∈(-2,x0)時,f(x)<0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f(x)>0,
從而當(dāng)x=x0時,f(x)取得最小值.
由f(x0)=0,得,ln(x0+2)=-x0
故f(x)≥=>0.
綜上,當(dāng)m≤2時,f(x)>0.
分析:(Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),因為x=0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求出m的值,代入函數(shù)解析式后再由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明當(dāng)m≤2時,f(x)>0,轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)m=0時f(x)>0.求出當(dāng)m=2時函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),可知導(dǎo)函數(shù)在(-2,+∞)上為增函數(shù),并進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)在(-1,0)上有唯一零點(diǎn)x0,則當(dāng)x=x0時函數(shù)取得最小值,借助于x0是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)證出f(x0)>0,從而結(jié)論得證.
點(diǎn)評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,考查了不等式的證明,考查了函數(shù)與方程思想,分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識是解決該題的關(guān)鍵,是難題.
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