Question

12．已知f（x）=e^x-xe^x-1，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：當x＞-1，且x≠0時，g（x）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，求出極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)f（x）的極值；
（II）當x＞0時，當-1＜x＜0時，當-1＜x＜0時，利用第一問、或者構(gòu)造函數(shù)分別證明不等式．

解答 解：（I）f′（x）=-xe^x，令f′（x）=0，得x=0，列表

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	0	↘

∴當x=0時，函數(shù)f（x）取極大值f（0）=0，沒有極小值；…（4分）
（II）當x＞0時，由（I）知，f（x）＜0，從而$g（x）=\frac{f（x）}{x}＜0＜1$；…（6分）
當-1＜x＜0時，g（x）＜1等價于f（x）＞x，
設h（x）=f（x）-x，則h′（x）=-xe^x-1，…（8分）
∵-1＜x＜0，∴0＜-xe^x＜1，h′（x）=-xe^x-1＜0，
∴h（x）在（-1，0）是減函數(shù)，
當-1＜x＜0時，h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞x，從而g（x）＜1；
因此當x＞-1，且x≠0時，g（x）＜1．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值的求法，函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．