Question

17．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左頂點(diǎn)為A₁，右焦點(diǎn)為F₂，過點(diǎn)F₂作垂直于x軸的直線交該橢圓于M、N兩點(diǎn)，直線A₁M的斜率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若△A₁MN的外接圓在M處的切線與橢圓相交所得弦長為$\frac{5}{7}$，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后，代入，得到$\frac{{\frac{b^2}{a}}}{a+c}=\frac{1}{2}$，從而確定其斜率關(guān)系；
（Ⅱ）首先，得到A₁（-2c，0）$M（c，\frac{3c}{2}）$，然后，可以設(shè)外接圓圓心設(shè)為P（x₀，0），結(jié)合圓的性質(zhì)建立等式，然后，利用弦長公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意$M（c，\frac{b^2}{a}）$-------------（1分）
因?yàn)锳₁（-a，0），所以$\frac{{\frac{b^2}{a}}}{a+c}=\frac{1}{2}$-------------（2分）
將b²=a²-c²代入上式并整理得$\frac{a-c}{a}=1-e=\frac{1}{2}$（或a=2c）----------（3分）
所以$e=\frac{1}{2}$------------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，$b=\sqrt{3}c$（或$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$）------------（5分）
所以A₁（-2c，0）$M（c，\frac{3c}{2}）$，外接圓圓心設(shè)為P（x₀，0）
由|PA₁|=|PM|，得$\sqrt{{{（{x_0}+2c）}^2}}=\sqrt{{{（{x_0}-c）}^2}+{{（\frac{3c}{2}）}^2}}$------------（6分）
解得：${x_0}=-\frac{c}{8}$------------（7分）
所以${k_{PM}}=\frac{{\frac{3c}{2}}}{{c+\frac{c}{8}}}=\frac{4}{3}$------------（8分）
所以△A₁MN外接圓在M處切線斜率為$-\frac{3}{4}$，設(shè)該切線與橢圓另一交點(diǎn)為C
則切線MC方程為$y-\frac{3c}{2}=-\frac{3}{4}（x-c）$，即$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9c}{4}$------------（9分）
與橢圓方程3x²+4y²=12c²聯(lián)立得7x²-18cx+11c²=0------------（10分）
解得${x_1}=c，{x_2}=\frac{11c}{7}$------------（11分）
由弦長公式$|{MC}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$得$\sqrt{1+{{（{-\frac{3}{4}}）}^2}}|c-\frac{11c}{7}|=\frac{5}{7}$------------（12分）
解得c=1------------（13分）
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式等知識(shí)，屬于中檔題．