Question

已知函數(shù) f（x）=log₃（3^x-1），
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求證函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（3）若f^-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)，設(shè)F（x）=f^-1（2x）-f（x），求函數(shù)F（x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

（1）函數(shù) f（x）=log₃（3^x-1），得：3^x-1＞0，∴x＞0
∴f（x）的定義域 是（0，+∞）．
（2）設(shè)在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=log3

3x2-1

3x1-1

由y=3^x在定義域（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增得：

3x2-1

3x1-1

＞ 1，∴log3

3x2-1

3x1-1

＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增（3分）
（3）由 f（x）=log₃（3^x-1），得：f^-1（x）=log₃（3^x+1），∴F（x）=f^-1（2x）-f（x）=log3

32x+1

3x-1

log3(3x-1+

2

3x-1

+2)≥log3(2

2

 +2)
當(dāng)x=log3(

2

+1)時(shí)，F(xiàn)（x）最小值為log3(2

2

+2)