若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=
1
4
an+1（n≥1），則an=
4
3
(-
1
3
)n-1
4
3
(-
1
3
)n-1
，
lim
n→∞
（a1+a2+a3+…+an）的值是
1
1
．
分析：在Sn=
1
4
an+1（n≥1）①中，令n=1可得a1．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=
1
4
an-1+1 ②，用①減去②，化簡(jiǎn)可得an=-
1
3
an-1，可得數(shù)列為等比數(shù)列，公比為-
1
3
，
由此求得an．再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得 Sn，可得
lim
n→∞
（a1+a2+a3+…+an）=
lim
n→∞
Sn 的值．
解答：解：由于數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=
1
4
an+1（n≥1）①，令n=1可得a1=
4
3
．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=
1
4
an-1+1 ②，用①減去②，化簡(jiǎn)可得an=-
1
3
an-1，故數(shù)列為等比數(shù)列，公比為-
1
3
，∴an=
4
3
(-
1
3
)n-1．
∴Sn=
4
3
[1-(-
1
3
)n]
1+
1
3
=1-(-
1
3
)n，∴
lim
n→∞
（a1+a2+a3+…+an）=
lim
n→∞
Sn=
lim
n→∞
[1-(-
1
3
)n]=1，
故答案為
4
3
(-
1
3
)n-1、1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)之間的關(guān)系，等比數(shù)列的求和公式，數(shù)列極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n∈N*）都在函數(shù)y=log
12
x的圖象上．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=1-2-n，過(guò)點(diǎn)Pn，Pn+1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為cn，求使cn≤t對(duì)n∈N*恒成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

以下有四種說(shuō)法：
（1）若p∨q為真，p∧q為假，則p與q必為一真一假；
（2）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+n+1，n∈N*，則an=2n，n∈N*；
（3）若f′（x0）=0，則f（x）在x=x0處取得極值；
（4）由變量x和y的數(shù)據(jù)得到其回歸直線方程l： 
y
=bx+a，則l一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(
.
x
， 
.
y
)．
以上四種說(shuō)法，其中正確說(shuō)法的序號(hào)為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列命題：
（1）若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則數(shù)列{Sn}也是遞增數(shù)列；
（2）數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)；
（3）若{an}是等差數(shù)列（公差d≠0），則S1•S2…Sk=0的充要條件是a1•a2…ak=0．
（4）若{an}是等比數(shù)列，則S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）的充要條件是an+an+1=0．
其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且有4Sn=an2+4n-1，n∈N*，
（1）求a1的值；
（2）求證：(an-2)2-an-12=0(n≥2)；
（3）求出所有滿足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)（x，y）是區(qū)域
x+2y≤2n
x≥0
y≥0
，（n∈N*）內(nèi)的點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)z=x+y，z的最大值記作zn．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，且點(diǎn)（Sn，an）在直線zn=x+y上．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案