Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）的最小正周期為4，且在[2，3]上是增函數(shù)，有下列命題：
①f（2014）=0；②f（2015）＞0；③f（

2x2+4x+5

x2+2x+2

）＞0；④f（

2015

2014

）＜f（

5

2

）．
正確命題的個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：運用奇函數(shù)的定義和周期函數(shù)的定義，可令x=-2，可得f（2）=0，且f（0）=0，運用周期為4，即可判斷①；再由單調(diào)性，即可判斷②；化簡分式可得2＜2+

1

x2+2x+2

＜3，由單調(diào)性即可判斷③；再由條件可得f（4-x）=f（-x）=-f（x），結合單調(diào)性，可得f（

2015

2014

）＜0，f（

5

2

）＞0，即可判斷④．

解答： 解：定義在R上的奇函數(shù)f（x）的最小正周期為4，則f（x+4）=f（x），
f（0）=0，f（-2）=f（2）=-f（2），即有f（2）=0，
對于①，f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0，則①對；
對于②，f（2015）=f（503×4+3）=f（3），由于f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，
則f（3）＞f（2）=0，則②對；
對于③，f（

2x2+4x+5

x2+2x+2

）=f（2+

1

x2+2x+2

），由于x²+2x+2=（x+1）²+1≥1，
則2＜2+

1

x2+2x+2

＜3，由f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，則f（

2x2+4x+5

x2+2x+2

）＞f（2）=0，則③對；
對于④，由f（-x）=-f（x），f（x+4）=f（x），則f（4-x）=f（-x）=-f（x），
則f（

2015

2014

）=-f（4-

2015

2014

）=-f（

6041

2014

），由2＜

6041

2014

＜3，則f（

6041

2014

）＞f（2）=0，
則f（

2015

2014

）＜0，由2＜

5

2

＜3，則f（

5

2

）＞0，則f（

2015

2014

）＜f（

5

2

），則④對．
則①②③④都對．
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及周期性的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．