Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（4sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（cos（x+$\frac{π}{6}$），1）
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{6}{5}$，$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{5}{6}$π，求cos2A的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得f（x）=2in（2x+$\frac{π}{6}$），根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）由已知可得sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，結(jié)合A的范圍，可求cos（A+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，從而可求cosA=cos（A+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1
=4sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）+1
=$\sqrt{3}$（2sinxcosx）+（1-2sin²x）
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2in（2x+$\frac{π}{6}$），
∵f（x）=2in（2x+$\frac{π}{6}$）在區(qū)間[0，$\frac{π}{6}$]上為增函數(shù)，在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上為減函數(shù)，
又∵f（0）=1，f（$\frac{π}{6}$）=2，f（$\frac{π}{2}$）=-1，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為2，最小值為-1．…7分
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{6}{5}$，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
又∵$\frac{π}{3}＜A＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{π}{2}$＜A+$\frac{π}{6}$＜π，
∴cos（A+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cosA=cos（A+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=cos（A+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（A+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$，
∴cos2A=2cos²A-1
=2$•\frac{57-24\sqrt{3}}{100}$-1
=$\frac{7-24\sqrt{3}}{50}$．…13分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，二倍角的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．