Question

（2012•四川）如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O在A(yíng)B上．
（Ⅰ）求直線(xiàn)PC與平面ABC所成的角的大��；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大�。�

Answer 1

分析：解法一（Ⅰ）連接OC，由已知，∠OCP為直線(xiàn)PC與平面ABC所成的角．設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接PD，CD．不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=

3

，AB=4．在RT△OCP中求解．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面APC的一個(gè)法向量與面ABP的一個(gè)法向量夾角求解．
解法二（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接CD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用

CP

與平面ABC的一個(gè)法向量夾角求解．
（Ⅱ）分別求出平面APC，平面ABP的一個(gè)法向量，利用兩法向量夾角求解．

解答：解法一
（Ⅰ）連接OC，由已知，∠OCP為直線(xiàn)PC與平面ABC所成的角．     

設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接PD，CD．因?yàn)锳B=BC=CA，所以CD⊥AB，
因?yàn)椤螦PB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD為等邊三角形，
不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=

3

，AB=4．
所以CD=2

3

，OC=

OD2+CD2

=

1+12

=

13

在RT△OCP中，tan∠OCP=

OP

OC

=

3

13

=

39

13

．
故直線(xiàn)PC與平面ABC所成的角的大小為arctan

39

13

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則

AP

=（1，0，

3

），

AC

=（2，2

3

，0）．

設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），則由

n ⊥ AP n ⊥ AC

得出

n • AP =0 n • AC =0

即

x+ 3 z=0 2x+2 3 y=0

，取x=-

3

，則y=1，z=1，所以

n

=（-

3

，1，1）．設(shè)二面角B-AP-C的平面角為β，易知β為銳角．而面ABP的一個(gè)法向量為

m

=（0，1，0），則cosβ=|

n • m

| n |• | m |

|=|

1

3+1+1

|=

5

5

．故二面角B-AP-C的大小為arccos

5

5

．
解法二：（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接CD．因?yàn)镺在A(yíng)B上，且O為P在平面ABC內(nèi)的射影，

所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因?yàn)锳B=BC=CA，所以CD⊥AB，設(shè)E為AC中點(diǎn)，則EO∥CD，從而OE⊥PO，OE⊥AB．
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．不妨設(shè)PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=

3

，
CD=2

3

，所以O(shè)（0，0，0），A（-1，0，0），C（1，2

3

，0），P（0，0，

3

），所以

CP

=（-1，-2

3

，

3

）

OP

=（0，0，

3

）為平面ABC的一個(gè)法向量．
設(shè)α為直線(xiàn)PC與平面ABC所成的角，則sinα=|

CP • OP

| CP |• |OP |

|=

0+0+3

16 • 3

=

3

4

．故直線(xiàn)PC與平面ABC所成的角大小為arcsin

3

4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

AP

=（1，0，

3

），

AC

=（2，2

3

，0）．
設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），則由

n ⊥ AP n ⊥ AC

得出

n • AP =0 n • AC =0

即

x+ 3 z=0 2x+2 3 y=0

，
取x=-

3

，則y=1，z=1，所以

n

=（-

3

，1，1）．設(shè)二面角B-AP-C的平面角為β，易知β為銳角．
而面ABP的一個(gè)法向量為

m

=（0，1，0），則cosβ=|

n • m

| n |• | m |

|=|

1

3+1+1

|=

5

5

．
故二面角B-AP-C的大小為arccos

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面關(guān)系，直線(xiàn)與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查思維能力、空間想象能力，并考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力．