Question

下列五個命題：
（1）函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）在區(qū)間（-

π

3

，

π

6

）內(nèi)單調(diào)遞增．
（2）函數(shù)y=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期為2π．
（3）函數(shù)y=cos（x+

π

3

）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，0）對稱．
（4）函數(shù)y=tan（x+

π

3

）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

成軸對稱．
（5）把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

得到函數(shù)y=3sin2x的圖象．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性由-

π

2

≤2x+

π

3

≤

π

2

，得其部分單調(diào)增區(qū)間，從而可判斷（1）的正誤；
（2）利用二倍角的余弦公式及余弦函數(shù)的周期性質(zhì)可得其周期，從而可判斷（2）的正誤；
（3）當(dāng)x=

π

6

時，易知y=cos（

π

6

+

π

3

）=cos

π

2

=0，從而可判斷（3）的正誤；
（4）函數(shù)y=tanx的圖象沒有對稱軸可知（4）錯誤；
（5）利用三角平移變換可知（5）的正誤．

解答： 解：（1）由-

π

2

≤2x+

π

3

≤

π

2

，得-

5π

12

≤x≤

π

12

，
所以函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）在區(qū)間[-

5π

12

，

π

12

]內(nèi)單調(diào)遞增，在（

π

12

，

π

6

）內(nèi)單調(diào)遞減，故（1）錯誤，
（2）函數(shù)y=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x的最小正周期為π，故（2）錯誤；
（3）當(dāng)x=

π

6

時，y=cos（

π

6

+

π

3

）=cos

π

2

=0，
所以函數(shù)y=cos（x+

π

3

）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，0）對稱，即（3）正確；
（4）因?yàn)楹瘮?shù)y=tan（x+

π

3

）的圖象沒有對稱軸，故（4）錯誤；
（5）把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

得到函數(shù)y=3sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=3sin2x的圖象，故（5）正確；
綜上所述，真命題的序號是（3）、（5）．
故答案為：（3）、（5）．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，突出正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱軸及三角平移變換，屬于中檔題．