Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=1-x+-+…-，n∈N^*，
（Ⅰ）研究函數(shù)f₂（x）的單調(diào)性并判斷f₂（x）=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）判斷f_n（x）=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）f₂（x）=1-x+-，則f₂′（x）=-1+x-x²=-（x-）²-＜0
∴函數(shù)f₂（x）在R上單調(diào)減
∵f₂（1）＞0，f₂（2）＜0
∴f₂（x）=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是1個(gè)；
（Ⅱ）f_n（x）=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是1個(gè)
求導(dǎo)函數(shù)可得f_n′（x）=-1+x-x²+…+x^2n-3-x^2n-2．
（1）若x=-1，則f_n′（x）=-（2n-1）＜0．
（2）若x=0，則f_n′（x）=-1＜0．
（3）若x≠-1，且x≠0時(shí)，則f_n′（x）=-．
①當(dāng)x＜-1時(shí)，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，∴f_n′（x）＜0．
②當(dāng)x＞-1時(shí)，f_n′（x）＜0
綜合（1），（2），（3），得f_n′（x）＜0，
即f_n（x）在R單調(diào)遞減．
又f_n（0）=1＞0，f_n（2）=（1-2）+（）+…+（-）＜0
所以f_n（x）在（0，2）有唯一實(shí)數(shù)解，從而f_n（x）在R有唯一實(shí)數(shù)解．
綜上，f_n（x）=0有唯一實(shí)數(shù)解．
分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，配方整理看出導(dǎo)函數(shù)一定小于0，得到函數(shù)的單調(diào)性
（II）首求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)看出函數(shù)的單調(diào)性，從而可得交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)看出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)與橫軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．分類(lèi)研究函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想