Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足

BF1

=

F1F2

，且AB⊥AF2． 
（I）求橢圓C的離心率；
（II）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線x-

3

y-3=0相切，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（I）求出左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A的坐標，通過

BF1

=

F1F2

，且AB⊥AF2，推出a，b，c的關(guān)系，結(jié)合a²=b²+c²，即可求橢圓C的離心率；
（II）利用（I）求出過A、B、F₂三點的圓的圓心與半徑，利用圓與直線x-

3

y-3=0相切圓心到直線的距離等于半徑，求出a，b，即可求橢圓C的方程．

解答：解：（I）由題意可知，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（0，b），求橢圓C的離心率；
∵

BF1

=

F1F2

，可知F₁為BF₂的中點．
又AB⊥AF₂，
∴Rt△ABF₂中，BF₂²=AB₂+AF₂²，
(4c)2=(

9c2+b2

)2+a2，
又a²=b²+c²，
∴a=2c．
故橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

．
（II）由（I）知，

c

a

=

1

2

，c=

1

2

a，于是F₂（

1

2

a，0），B（-

3a

2

，0），
RtABF₂的外接圓圓心為F₁（-

1

2

a，0），半徑為r=a，
圓與直線x-

3

y-3=0相切，
∴

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，∴c=1，b=

3

．
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題是中檔題，考查橢圓離心率的求法，橢圓的標準方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應用．