Question

【題目】設(shè)，若，求證：

（1）方程有實根．

（2）若﹣2＜＜﹣1且設(shè)x1，x2是方程f（x）=0的兩個實根，則≤|x1﹣x2|＜

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）針對a進(jìn)行分類討論，當(dāng)a=0時，f（0）f（1）≤0顯然與條件矛盾，當(dāng)a≠0時，f（x）=3ax2+2bx+c為二次函數(shù)，只需考慮判別式大于等于零即可；

（Ⅱ）利用根與系數(shù)的關(guān)系將（x1﹣x2）2轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)的范圍求出值域即可．

試題解析：

證明：（1）若a=0，則b=﹣c，

f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=﹣c2≤0，

與已知矛盾，所以a≠0．

方程3ax2+2bx+c=0的判別式△=4（b2﹣3ac），

由條件a+b+c=0，消去b，得△=4（a2+c2﹣ac）=

故方程f（x）=0有實根．

（2）由條件，知，，

所以（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=．

因為﹣2＜＜﹣1所以

故