Question

對(duì)于曲線y=f（x），若存在直線l使得曲線y=f（x）位于直線l的同一側(cè)，則稱曲線y=f（x）為半面曲線，下列曲線中是半面曲線的序號(hào)為

 

．（填上所有正確的序號(hào)）
①y=

1

x

 ②y=x³  ③y=x⁴+x³ ④y=x+

1

x

 ⑤y=1-x²+xsinx．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)新定義，關(guān)鍵是判斷每個(gè)函數(shù)是否有最值，通過最值即可判斷是否存在直線I使得曲線 y=f（x）位于直線l的同一側(cè)，則稱曲線y=f（x）為半面曲線

解答： 解：①y=

1

x

的定義域?yàn)楹椭涤蚓鶠椋?∞，0）∪（0，+∞）無最大值或最小值，故不存在
②y=x³的定義域?yàn)楹椭涤蚓鶠镽，無最大值或最小值，故不存在
③∵y=x⁴+x³，y′=4x³+3x²=x²（4x+3），
令y′=0，解得x=0，或x=-

3

4

，
當(dāng)y′＞0，即x＞-，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)y′＜0，即x＞-

3

4

，函數(shù)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=-

3

4

，函數(shù)有最小值，
故存在直線I使得曲線 y=f（x）位于直線l的同一側(cè)
④y=x+

1

x

無最大值或最小值，故不存在
⑤y=1-x²+xsinx，
當(dāng)x趨向于無窮時(shí)，y的值趨向于負(fù)無窮，
當(dāng)x趨向于0時(shí)，y=1，
故函數(shù)y=1-x²+xsinx，有最大值，
故存在直線I使得曲線 y=f（x）位于直線l的同一側(cè)
函數(shù)的圖象如圖所示

故答案為：③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義，主要是求出函數(shù)的最值，屬于中檔題