Question

已知四棱錐P-ABCD及其三視圖如下圖所示，E是側棱PC上的動點．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？試證明你的結論；
（Ⅲ）若點E為PC的中點，求二面角D-AE-B的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）由三視圖知PC⊥面ABCD，ABCD為正方形，且PC=2，AB=BC=1，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（II）不論點E在何位置，都有BD⊥AE．由已知得PC⊥BD，從而BD⊥面ACE，由此能證明BD⊥AE．
（III）連接AC，交BD于O．由對稱性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，設θ為二面角O-AE-B的平面角．注意到B在面ACE上的射影為O，由cosθ=

S△AOE

S△ABE

=

1

2

，能求出二面角D-AE-B的大小．

解答： 解：（I）由三視圖知PC⊥面ABCD，
ABCD為正方形，且PC=2，AB=BC=1，
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD×PC=

1

3

×12×2=

2

3

．（4分）
（II）不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
證明如下：
∵PC⊥面ABCD，BD?面ABCD，∴PC⊥BD
而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE，
而AE?面ACE，
∴BD⊥AE．（7分）
（III）連接AC，交BD于O．
由對稱性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，
設θ為二面角O-AE-B的平面角．
注意到B在面ACE上的射影為O，
S△AOE=

1

2

S△ACE=

1

2

×

1

2

×

2

=

2

4

，
S△ABE=

1

2

AB×BE=

2

2

，
∴cosθ=

S△AOE

S△ABE

=

1

2

，
∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°．（12分）

點評：本試題主要考查了立體幾何中的線面的垂直，以及二面角的求解的綜合運用．