Question

交管部門遵循公交優(yōu)先的原則，在某路段開設(shè)了一條僅供車身長為10m的公共汽車行駛的專用車道，據(jù)交管部門收集的大量數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，該車道上行駛著的前后兩輛公共汽車間的安全距離d（m）與車速v（km/h）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系d=f（v），現(xiàn)已知車速為15km/h時，安全距離為8m；車速為45km/h時，安全距離為38m；出現(xiàn)堵車狀況時，兩車安全距離為2m．
（1）試確定d關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式d=f（v）；
（2）車速v（km/h）為多少時，單位時段內(nèi)通過這條車道的公共汽車數(shù)量最多？最多是多少輛？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)d=f（v）=av²+bv+c（a≠0），利用車速為15km/h時，安全距離為8m；車速為45km/h時，安全距離為38m；出現(xiàn)堵車狀況時，兩車安全距離為2m，建立方程組，即可確定d關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式d=f（v）；
（2）因?yàn)閮绍囬g距為d，則兩輛車頭間的距離為l0+d（m），單位時段內(nèi)通過汽車的數(shù)量為Q最大，只需

v

10+d

最小，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)d=f（v）=av²+bv+c（a≠0），則
∵車速為15km/h時，安全距離為8m；車速為45km/h時，安全距離為38m；出現(xiàn)堵車狀況時，兩車安全距離為2m，
∴

8=225a+15b+c 38=2025a+45b+c 2=c

，
∴c=2，a=

1

75

，b=

1

5

，
∴d=f（v）=

1

75

v²+

1

5

v+2；
（2）因?yàn)閮绍囬g距為d，則兩輛車頭間的距離為l0+d（m）
單位時段內(nèi)通過汽車的數(shù)量為Q最大，只需

v

10+d

最小，
由（1）知Q=

v

1 75 v2+ 1 5 v+12

=

1

v 75 + 12 v + 1 5

≤1，
當(dāng)

v

75

=

12

v

等號成立，即v=30km/h，Q取到最大值
∴在交通繁忙時，應(yīng)規(guī)定車速為30km/h，可以使隧道在單位時段內(nèi)通過的汽車數(shù)量Q最多，最多是1000輛．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．