Question

如圖所示，在半徑為

3

，圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)N，M在OB上．設(shè)矩形PNMQ的面積為y，∠POB=θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)的關(guān)系，求出矩形的鄰邊，求出面積的表達(dá)式，化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)θ的范圍確定矩形面積的最大值．

解答：解：由題意，PN=OP•sinθ=

3

sinθ，ON=OPcosθ=

3

cosθ，OM=

QM

tan60°

=

PN

tan60°

=sinθ
∴MN=ON-OM=

3

cosθ-sinθ
∴y=

3

sinθ（

3

cosθ-sinθ），
即y=3sinθcosθ-

3

sin²θ，θ∈（0，

π

3

）
∴y=

3

sin（2θ+

π

6

）-

3

2

∵θ∈（0，

π

3

）
∴2θ+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)
∴sin（2θ+

π

6

）∈(

1

2

，1]
∴2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

時(shí)，y的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)模型的建立，考查三角函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．