Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+n（n∈N^*）
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

an-1

2n

}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n+n}的前n項(xiàng)和R_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+n得，當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+n-1，兩個式子相減化簡后得到遞推公式，代入

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

化簡后，即可證明結(jié)論，并求出數(shù)列的首項(xiàng)；
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

an-1

2n

的表達(dá)式，再求出a_n+n的表達(dá)式，利用分組求和、錯位相減法，以及等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{a_n+n}的前n項(xiàng)和R_n．

解答： 證明：（1）因?yàn)镾_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+n，
所以當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+n-1，
兩個式子相減得，a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ+1，
即得a_n=2a_n-1+2ⁿ-1，
所以

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=

an-1

2n

-

2an-1-2

2n

=

2an-1+2n-2

2n

-

2an-1-2

2n

=1，（n≥2），
又S₁=2a₁-2²+1，解得a₁=3，則

a1-1

21

=1，
所以數(shù)列{

an-1

2n

}以1為首項(xiàng)、公差的等差數(shù)列；
解：（2）由（1）得，

an-1

2n

=n，所以an=n•2n+1，
令Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
則2Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
兩式相減得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
因?yàn)?span id="ihwk47s" class="MathJye">an+n=n•2n+1+n，
所以數(shù)列{a_n+n}的前n項(xiàng)和R_n=T_n+

n(2+1+n)

2

=（n-1）2ⁿ⁺¹+2+

n(n+3)

2

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的證明方法，等比、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，“錯位相減法”和“分組求和法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．