【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形, 底面ABCD,SA=2,M為SA的中點(diǎn).

(1)求異面直線AB與MD所成角的大;
(2)求直線AS與平面SCD所成角的正弦值;
(3)求平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值.

【答案】
(1)解:在平面ABCD中,過點(diǎn)A作AF⊥AB,交CD與F,

以A為原點(diǎn),AB,AF,AS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

A(0,0,0),B(1,0,0),M(0,0,1),D(﹣ , ,0),

=(1,0,0), =(﹣ , ,﹣1),

設(shè)異面直線AB與MD所成角為α,

則cosα= = = ,

∴異面直線AB與MD所成角為


(2)解:S(0,0,2),C(1﹣ , ,0),

=(0,0,2), =(1﹣ , ,﹣2), =(﹣ , ,﹣2),

設(shè)平面SCD的法向量 =(x,y,z),

,取z=1,得 =(0,2 ,1),

設(shè)直線AS與平面SCD所成角為β,

則sinβ=|cos< >|= = = ,

∴直線AS與平面SCD所成角的正弦值為


(3)解:∵平面SCD的法向量 =(0,2 ,1),

平面SAB的法向量 =(0,1,0),

∴cos< >= = ,

∴平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值為


【解析】(1)在平面ABCD中,過點(diǎn)A作AF⊥AB,交CD與F,以A為原點(diǎn),AB,AF,AS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線AB與MD所成角.(2)求出平面SCD的法向量,利用向量法能求出直線AS與平面SCD所成角的正弦值.(3)求出平面SCD的法向量和平面SAB的法向量,利用向量法能求出平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解異面直線及其所成的角(異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系),還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù))與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩所學(xué)校高三年級分別有1 200人,1 000人,為了了解兩所學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)六校聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績情況,采用分層抽樣方法從兩所學(xué)校一共抽取了110名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下:

甲校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

3

4

8

15

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

15

x

3

2

乙校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

1

2

8

9

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

10

10

y

3

x,y的值分別為( )

(A)、12,7 (B)、 10,7 (C)、 10,8 (D)、 11,9

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,其中是自然常數(shù),

(1)當(dāng)時,求的單調(diào)性和極值;

(2)恒成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知命題p:函數(shù) 在(﹣∞,+∞)上有極值,命題q:雙曲線 的離心率e∈(1,2).若p∨q是真命題,p∧q是假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 (a>b>0)的右焦點(diǎn)F(1,0),離心率為 ,過F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.

(1)求橢圓的方程;
(2)證明:直線MN必過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求△FMN面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對稱點(diǎn)仍在圓上,且與直線x﹣y+1=0相交的弦長為2 ,求圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知如圖:平行四邊形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直,G,H分別是DF,BE的中點(diǎn).
(1)求證:GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4 ,求四棱錐F﹣ABCD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校為了解學(xué)校食堂的服務(wù)情況,隨機(jī)調(diào)查了50名就餐的教師和學(xué)生.根據(jù)這50名師生對餐廳服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評分,繪制出了頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40,50),[50,60),…,[90,100].
(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)從評分在[40,60)的師生中,隨機(jī)抽取2人,求此人中恰好有1人評分在[40,50)上的概率;
(3)學(xué)校規(guī)定:師生對食堂服務(wù)質(zhì)量的評分不得低于75分,否則將進(jìn)行內(nèi)部整頓,試用組中數(shù)據(jù)估計該校師生對食堂服務(wù)質(zhì)量評分的平均分,并據(jù)此回答食堂是否需要進(jìn)行內(nèi)部整頓.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案