Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

[3ln（x+2）-ln（x-2）]
（I） 求x為何值時(shí)，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出最大值．
（Ⅱ）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在R上恒成立即可求出a的范圍

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

1

2

[

3

x+2

-

1

x-2

]=

x-4

x2-4

∴當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞4時(shí)，f′（x）＞0
∴f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，在（4，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）在[3，7]上的最大值應(yīng)在端點(diǎn)處取得，又f（3）-f（7）=

1

2

[3ln5-ln1]-

1

2

[ln625-ln729]＜0，
∴f（3）＜f（7）即當(dāng)x=7時(shí)，f（x）取得在[3，7]上的最大值
（Ⅱ）∵F（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，∴F′（x）≥0恒成立
又F′（x）=

a

x-1

-

x-4

x2-4

=

(a-1)x2+5x-4(a+1)

(x-1)(x2-4)

在f（x）的定義域（2，+∞）上，有（x-1）（x²-4）＞0恒成立．
∴F′（x）≥0?（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．…（10分）
下面分情況討論（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時(shí)，a的解的情況．
當(dāng)a-1＜0時(shí)，顯然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
當(dāng)a-1=0時(shí)（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
當(dāng)a-1＞0時(shí)，又有兩種情況：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；
②-

5

2(a-1)

≤2且（a-1）-2²+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，無解；由②得a≥-

1

4

，a-1＞0，∴a＞1
綜上所述各種情況，當(dāng)a≥1時(shí)（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)以及綜合推理論證的能力，考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減