Question

9．已知x＞y＞0，a=log₂（x³+y³），b=log₂（x²y+xy²），c=1+$\frac{3}{2}$log₂xy，則（　�。�

• A． a＞b＞c
• B． b＞a＞c
• C． c＞a＞b
• D． c＞b＞a

Answer 1

分析 c=1+$\frac{3}{2}$log₂xy=$lo{g}_{2}2\sqrt{{x}^{3}{y}^{3}}$．由x＞y＞0，可得x²y+xy²＞$2\sqrt{{x}^{3}{y}^{3}}$，作差x³+y³-（x²y+xy²）=（x+y）（x-y）²＞0，即x³+y³＞x²y+xy²，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：c=1+$\frac{3}{2}$log₂xy=$lo{g}_{2}2\sqrt{{x}^{3}{y}^{3}}$．
∵x＞y＞0，∴x²y+xy²＞$2\sqrt{{x}^{3}{y}^{3}}$，x³+y³-（x²y+xy²）=（x+y）（x-y）²＞0，即x³+y³＞x²y+xy²，
∴x³+y³＞x²y+xy²＞$2\sqrt{{x}^{3}{y}^{3}}$，
∴l(xiāng)og₂（x³+y³）＞log₂（x²y+xy²）＞$lo{g}_{2}2\sqrt{{x}^{3}{y}^{3}}$．
∴a＞b＞c．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．