Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

9

=1（a＞0）的一條漸近線方程為3x+2y=0，點A為雙曲線C的右頂點，圓O的方程為x²+y²=1．
（1）求a的值；
（2）點M為平面內(nèi)一動點，過M引圓O的切線MN（N為切點），若

MN

MA

=

2

，求動點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由雙曲線

x2

a2

-

y2

9

=1（a＞0）的漸近線方程為3x±ay=0，結(jié)合已知條件求出a=2．
（2）由（1）知A（2，0），設(shè)M（x，y），N（cosθ，sinθ），0≤θ＜π，則（x-cosθ）²+（y-sinθ）²+1=x²+y²，由此根據(jù)已知條件得到

(x-cosθ)2+(y-sinθ)2

(x-2)2+y2

=

2

，從而得到

x2+y2-1

(x-2)2+y2

=

2

，由此能求出動點M的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

9

=1（a＞0）的漸近線方程為3x±ay=0，
由其中一條漸近線方程為3x+2y=0，
解得a=2．
（2）由（1）知雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=1，
∵點A為雙曲線C的右頂點，∴A（2，0），
設(shè)M（x，y），∵圓O的方程為x²+y²=1，
∴N（cosθ，sinθ），0≤θ＜π，
則（x-cosθ）²+（y-sinθ）²+1=x²+y²，
解得（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=x²+y²-1，
∵

MN

MA

=

2

，∴

(x-cosθ)2+(y-sinθ)2

(x-2)2+y2

=

2

，
∴

x2+y2-1

(x-2)2+y2

=

2

，
整理，得：x²+y²-8x+9=0．
∴動點M的軌跡方程為x²+y²-8x+9=0．

點評：本題考查拋物線中參數(shù)的求法，考查動點M的軌跡方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．