Question

如圖，三棱柱中，平面AC′⊥面BB′C′C，∠CC′B′=60°，BC=CC′AC=2，點D、E分別為棱AB，A′C′的中點
（1）求證：DE∥平面BB′C′C；
（2）求四棱錐D-ACEA′的體積．

Answer 1

分析：（1）取BC 的中點F，連DF、FC'，可證出四邊形C'EDF是平行四邊形，從而DE∥FC'，結合線面平行的判定定理，可得DE∥平面BB'C'C．
（2）在平面BC'內(nèi)作B'G⊥CC'，垂足為G，可得B'G=

3

且B'G⊥平面ACC'A'．由平行四邊形的性質(zhì)，得F到平面ACC'A'的距離為B'G長的一半，得四棱錐D-ACEA′的高為

3

2

，算出梯形ACEA'的面積S=3，再用錐體體積公式即可得到四棱錐D-ACEA'的體積．

解答：解：（1）取BC 的中點F，連DF，F(xiàn)C'，
∵D為AB的中點，E為A'C'的中點，
∴DF

∥ .

.

1

2

AC，EC′

∥ .

.

1

2

AC，可得DF

∥ .

.

EC，
∴平行四邊形C'EDF，得DE∥FC'，---------------4分
又∵DE?平面BB'C'C，F(xiàn)C'?平面BB'C'C，
∴DE∥平面BB'C'C．--------------6分
（2）在平面BC'內(nèi)作B'G⊥CC'，垂足為G，
∵Rt△B'GC'中，∠B'C'G=60°，
∴B'G=

3

2

B'C'=

3

∵平面AC′⊥面BB′C′C，BG⊥CC'
∴B'G⊥平面ACC'A'．
∵平行四邊形BB'C'C 中，F(xiàn)為BC的中點，
∴F到C'C 的距離等于

1

2

B′G=

3

2

，即F到平面ACC'A'的距離為

3

2

．-----------9分
又∵梯形ACEA'的面積S=

1

2

(1+2)×2=3
∴四棱錐D-ACEA'的體積V=

1

3

×

3

2

×3=

3

2

．--------------12分

點評：本題給出特殊三棱柱，求證線面平行并且求錐體體積，著重考查了空間平行、垂直位置關系的證明和體積求法等知識，屬于基礎題．