Question

函數(shù)f（x）=e^xsinx在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由已知得f′（x）=e^x（sinx+cosx），當x∈[0，

π

2

]時，f′（x）＞0，從而函數(shù)f（x）=e^xsinx在區(qū)間[0，

π

2

]上單調遞增，由此能求出函數(shù)f（x）=e^xsinx在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

解答： 解：∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx），
∵x∈[0，

π

2

]，∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）=e^xsinx在區(qū)間[0，

π

2

]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（0）=0，
f(x)max=f(

π

2

)=e

π

2

，
∴函數(shù)f（x）=e^xsinx在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域為[0，e

π

2

]．
故答案為：[0，e

π

2

]．

點評：本題考查函數(shù)的值域的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．