Question

已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調性；
（3）若f（3）=-1，求f（x）在[2，9]上的最小值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由條件可令x₁=x₂，得f（1）=0；
（2）令x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1，由條件即可得到f（x₁）＜f（x₂），由單調性的定義即可得到；
（3）由于f（3）=-1，則f（

9

3

）=f（9）-f（3），即可求得f（9），再由單調性，即可得到最小值．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）滿足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），
則令x₁=x₂，得f（1）=0；
（2）令x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1，由當x＞1時，f（x）＜0，
得f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
則f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（3）由于f（3）=-1，則f（

9

3

）=f（9）-f（3），
即f（9）=2f（3）=-2．
由（2）得f（x）在[2，9]上遞減，
則f（x）在[2，9]上的最小值為f（9）=-2．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的單調性的判斷，以及應用求最值，屬于中檔題．