Question

若橢圓C₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）和橢圓C₂：

x2

a22

+

y2

b22

=1（a₂＞b₂＞0）的離心率相同，且a₁＞a₂，給出如下四個(gè)結(jié)論：
①橢圓C₁和橢圓C₂一定沒(méi)有公共點(diǎn)；②

a1

a2

=

b1

b2

；③a₁²-a₂²＜b₁²-b₂²；④a₁-a₂＜b₁-b₂
則所有結(jié)論正確的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先根據(jù)離心率相等可以進(jìn)行恒等變換得到：②成立，同時(shí)得到a12-b12=a22-b22③不成立，①成立，最后利用（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂）得到④成立．

解答： 解：橢圓C₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）和橢圓C₂：

x2

a22

+

y2

b22

=1（a₂＞b₂＞0）的離心率相同，
所以：a12-b12=a22-b22，
進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：a12-a22=b12-b22，
由于a₁＞a₂所以b₁＞b₂，
所以：①成立，

c1

a1

=

c2

a2

，
經(jīng)過(guò)變換和合比性質(zhì)得到：

a1

a2

=

b1

b2

，
所以：②成立．
a12-b12=a22-b22，所以：（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂），
進(jìn)一步得到：a₁-a₂＜b₁-b₂，故④成立．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，合比性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．