Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四個側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O，E為側(cè)棱SC上一點(diǎn)．
（1）求證：平面BDE⊥平面SAC
（2）當(dāng)二面角E-BD-C的大小為45°時，試判斷點(diǎn)E在SC上的位置，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證平面BDE⊥平面SAC，可以通過BD⊥面SAC實(shí)現(xiàn)．而后者可由BD⊥SO，BD⊥AC易證得出．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，CE=a（0＜a＜2），利用平面BDE的法向量與平面SAC的法向量夾角，與二面角E-BD-C的大小關(guān)系，得出關(guān)于a的方程并解出即可．
解答：（本小題滿分12分）
（1）證明：由已知可得，SB=SD，O是BD的中點(diǎn)，
所以BD⊥SO                  （2分）
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BD⊥AC，（3分）
因?yàn)锳C∩SO=O，所以BD⊥面SAC．（4分）
又因?yàn)锽D?面BDE，所以平面BDE⊥平面SAC．（5分）
（2）解：易證，SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（7分）
設(shè)四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，
則O（0，0，0），S（0，0，），B（0，，0），D（0，-，0）．
所以=（0，-2，0），
設(shè)CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°，
則E（-+，0，），=（-+，-，）．
設(shè)平面BDE的法向量為n=（x，y，z），則
即令z=1，得n=（，0，1），（9分）
因?yàn)镾O⊥底面ABCD，所以=（0，0，）是平面SAC的一個法向量，（10分）
因?yàn)槎�面量角E-BD-C的大小為45°，
所以=，解得a=1，
所以點(diǎn)E是SC的中點(diǎn)．（12分）
點(diǎn)評：本題考查空間直線、平面垂直關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．