在數(shù)列{an}中，數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式其中Sn表示數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）分別求a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的表達(dá)式，并予以證明．

（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65319.png' />，，
所以n=2時(shí)，，
n=3時(shí)===，，
n=4時(shí)==，…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式…（5分）
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：①n=1時(shí)，，命題成立；
②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)成立，即成立…（7分）
由已知
推得：
成立…（9分）
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，=
=
則n=k+1時(shí)，也成立．…（14分）
綜上可知，對(duì)任意n∈N，成立．
分析：（Ⅰ）通過(guò)關(guān)系式，利用n=2，3，4，即可求a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）通過(guò)觀察a1，a2，a3，a4的值，猜想求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的表達(dá)式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的項(xiàng)的求法，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，注意證明中必須利用假設(shè)，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

1、已知點(diǎn)（n，an）（n∈N*）都在直線3x-y-24=0上，那么在數(shù)列an中有a7+a9=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+
1n
)，則an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

14、在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n≥1），則該數(shù)列的通項(xiàng)an=
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中a1=
1
2
，a2=
1
5
，且an+1=
(n-1)an
n-2an
(n≥2)
（1）求a3、a4，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=
an•an+1
an
+
an+1
，求證：對(duì)?n∈N*，都有b1+b2+…bn＜
3n-1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一般地，在數(shù)列{an}中，如果存在非零常數(shù)T，使得am+T=am對(duì)任意正整數(shù)m均成立，那么就稱{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期．已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N*），如果x1=1，x2=a，（a≤1，a≠0），設(shè)S2009為其前2009項(xiàng)的和，則當(dāng)數(shù)列{xn}的周期為3時(shí)，S2009=
1339+a
1339+a
．

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