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已知定義域為R的函數f(x)=
-2x+b
2x+1+a
是奇函數.
(1)求f(x);
(2)是否存在最大的常數k,對于任意x實數都有f(x)>k,求出k;若不存在,說明理由.
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.
解  (1)因為f(x)是R上的奇函數,所以f(0)=0,即
-1+b
2+a
=0
,解得b=1
從而有f(x)=
-2x+1
2x+1+a

又由f(1)=-f(-1)知
-2+1
4+a
=
-
1
2
+1
1+a
,解得a=2…..(4分)
(2)由(1)知f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=-
1
2
+
1
2x+1

由上式易知f(x)在R上為減函數,f(x)>-
1
2
,所以k=-
1
2
.….(8分)
(3)解法一:由(1)知f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=-
1
2
+
1
2x+1

由上式易知f(x)在R上為減函數,
又因f(x)是奇函數,從而不等式
f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等價于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k)
因f(x)是R上的減函數,由上式推得t2-2t>-2t2+k
即對一切t∈R有3t2-2t-k>0
從而△=4+12k<0,解得k<-
1
3
     ….(13分)
練習冊系列答案
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已知定義域為R的函數f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數
(1)求a值;
(2)判斷并證明該函數在定義域R上的單調性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數k的取值范圍;
(4)設關于x的函數F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點,求實數b的取值范圍.

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