Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=1，則其前三項(xiàng)和S₃的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和第2項(xiàng)等于1，得到第1項(xiàng)與第3項(xiàng)的積為1，然后分兩種情況：當(dāng)公比q大于0時(shí)，得到第1項(xiàng)和第3項(xiàng)都大于0，然后利用基本不等式即可求出第1項(xiàng)和第3項(xiàng)之和的最小值，即可得到前3項(xiàng)之和的范圍；當(dāng)公比q小于0時(shí)，得到第1項(xiàng)和第3項(xiàng)的相反數(shù)大于0，利用基本不等式即可求出第1項(xiàng)和第3項(xiàng)相反數(shù)之和的最小值即為第1項(xiàng)和第3項(xiàng)之和的最大值，即可得到前3項(xiàng)之和的范圍，然后求出兩范圍的并集即可．
解答：解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a₂²=a₁a₃=1，
當(dāng)公比q＞0時(shí)，得到a₁＞0，a₃＞0，
則a₁+a₃≥2=2=2，所以S₃=a₁+a₂+a₃=1+a₁+a₃≥1+2=3；
當(dāng)公比q＜0時(shí)，得到a₁＜0，a₃＜0，
則（-a₁）+（-a₃）≥2=2=2，即a₁+a₃≤-2，所以S₃=a₁+a₂+a₃=1+a₁+a₃≤1+（-2）=-1，
所以其前三項(xiàng)和s₃的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案為：（-∞，-1]∪[3，+∞）
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道中檔題．