Question

18．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=2，D為BC中點，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的夾角為60°．
（1）求|$\overrightarrow{AD}$|的長；
（2）若$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$λ（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）（0≤λ≤1），P為AD上一動點，求$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最大，最小值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，可得$|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，解得|$\overrightarrow{BC}$|．在△ABD與△ACD中，分別利用余弦定理可得：AB²+AC²=2AD²+$\frac{1}{2}B{C}^{2}$，代入解出即可．
（2）λ=0時，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=0.0＜λ≤1時，可得$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\frac{2}{λ}\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-$\frac{2}{λ}{\overrightarrow{AP}}^{2}$，當(dāng)點P與點D重合時，λ=1，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-2${\overrightarrow{AD}}^{2}$，取得最小值，即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=2²+3²-2×2×3cos60°=7，
∴|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{7}$．
在△ABD與△ACD中，分別利用余弦定理可得：AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB，
AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos（π-∠ADB），
∴AB²+AC²=2AD²+$\frac{1}{2}B{C}^{2}$，
∴${3}^{2}+{2}^{2}=2A{D}^{2}+\frac{1}{2}×（\sqrt{7}）^{2}$，
解得$|\overrightarrow{AD}|$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$．
（2）λ=0時，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=0．
0＜λ≤1時，∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$λ（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$），∴$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\frac{2}{λ}\overrightarrow{AP}$．
∴$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-$\frac{2}{λ}{\overrightarrow{AP}}^{2}$，
當(dāng)點P與點D重合時，λ=1，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-2${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$-\frac{19}{2}$，取得最小值．
∴$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最大、最小值分別為0；$-\frac{19}{2}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、余弦定理，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于中檔題．