Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x-

x2

2

，a∈R．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ） 證明：（x-1）（e^-x-x）+2lnx＜

2

3

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)為正函數(shù)增，導(dǎo)數(shù)為負(fù)函數(shù)減；
（2）構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x-1)e-x-

x2

2

+2x，x＞0，求其最大值，然后利用放縮法證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

a

x

-1-x=

-(x2+x-a)

x

，
當(dāng)a≤0，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0，x∈(0，

1+4a -1

2

)時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
x∈(

1+4a -1

2

，+∞)時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，由（Ⅰ）可知f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，fmax(x)=f(1)=-

3

2

，即 2lnx-x-

x2

2

≤-

3

2

；
令g(x)=(x-1)e-x-

x2

2

+2x，x＞0，
g'（x）=（2-x）（e^-x+1），
易知gmax(x)=g(2)=

1

e2

+2，
所以(x-1)(e-x-x)+2lnx＜(x-1)(e-x-x)+

x2

2

+x-

3

2

=(x-1)e-x-

x2

2

+2x-

3

2

≤

1

e2

+2-

3

2

＜

2

3

．…（12分）

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、求最值，常常與不等式聯(lián)系在一起，較綜合，一般比較難．