Question

（2006•東城區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=18，數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n，且Tn+

1

2

bn=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）記c_n=a_n•b_n，求證：c_n+1≤c_n．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列通項公式可得

a1+d=6 a1+4d=18.

，解出a₁，d，由通項公式可求；
（2）由于Tn=1-

1

2

bn，①，n≥2時，Tn-1=1-

1

2

bn-1②，兩式作差可得遞推式，由定義可判斷，注意檢驗n=1的情況；
（3）由（2）可得bn=

2

3n

．從而可表示出c_n，利用作差可可證c_n+1≤c_n．

解答：解：（1）由已知

a1+d=6 a1+4d=18.

，解得a₁=2，d=4．
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．
（2）由于Tn=1-

1

2

bn，①
令n=1，得b1=1-

1

2

b1．解得b1=

2

3

，
當(dāng)n≥2時，Tn-1=1-

1

2

bn-1②，
①-②得bn=

1

2

bn-1-

1

2

bn，
又b1=

2

3

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

3

．
∴數(shù)列{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（3）由（2）可得bn=

2

3n

．
cn=an•bn=(4n-2)

2

3n

=

4(2n-1)

3n

，cn+1-cn=

4(2n+1)

3n+1

-

4(2n-1)

3n

=

16(1-n)

3n+1

．
∵n≥1，故c_n+1-c_n≤0．∴c_n+1≤c_n．

點評：本題考查利用遞推式求數(shù)列通項公式及等差數(shù)列的通項公式，考查學(xué)生的推理論證能力，屬中檔題．