Question

16．甲、乙兩同學(xué)參加某闖關(guān)游戲，規(guī)則如下：游戲分三關(guān)，每過一關(guān)都有相應(yīng)的積分獎勵，闖過第一關(guān)可以贏得5個積分，不過則積分為0．闖過前兩關(guān)可以贏得10個積分，三關(guān)全過獲得30個積分，任何一關(guān)闖關(guān)失敗游戲自動終止．已知甲過每關(guān)的概率均為$\frac{2}{3}$，乙過前2關(guān)的概率均為$\frac{1}{2}$，過第三關(guān)的概率為$\frac{3}{4}$，且各關(guān)能否闖關(guān)互不影響．
（1）求甲、乙共獲得30個積分的概率；
（2）求乙所獲積分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）

Answer 1

分析 （1）確定事件A：甲、乙共獲得30個積分，記事件B甲獲得30個積分，乙獲得0個積分；記事件C乙獲得30個積分，甲獲得0個積分；利用互斥事件的概率公式得出P（A）=P（B）+P（C），求解就看得出答案．
（2）確定ξ可以取值0，5，10，30，求解相應(yīng)的概率，得出分布列，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望公式求解即可．

解答 解：（1）記事件A：甲、乙共獲得30個積分，記事件B甲獲得30個積分，乙獲得0個積分；記事件C乙獲得30個積分，甲獲得0個積分；
所以P（A）=P（B）+P（C），
又p（B）=（$\frac{2}{3}$）³×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{27}$，P（C）=（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{16}$，
故P（A）=$\frac{4}{27}$$+\frac{1}{16}$=$\frac{91}{432}$；
（2）ξ可以取值0，5，10，30，
P（ξ=0）=$\frac{1}{2}$，P（ξ=5）=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=10）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×$（1-\frac{3}{4}）$=$\frac{1}{16}$，
P（ξ=30）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{16}$．

ξ	0	5	10	30
p	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{16}$

故E（ξ）=×$\frac{1}{2}+$5×$\frac{1}{4}$$+10×\frac{1}{16}$$+30×\frac{3}{16}$=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查了離散型的概率問題，分布列數(shù)學(xué)期望，考查了學(xué)生的閱讀分析問題的能力，解決實際問題的能力．