Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（I）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成的角；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在一點G，使得點D到平面PAG的距離為1，若存在，求出BG的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：以A人坐標原點，AB，AD，AP分別為X，Y，Z軸的正方向，建立空間坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），E（0，1，），P（0，0，1）
∴=（-1，0，0），=（0，2，0），=（0，0，1），=（0，1，），=（1，2，-1）
證明：（I）∵•=0，•=0
∴CD⊥AD，CD⊥AP
又∵AD∩AP=A
∴CD⊥平面PAD，
又∵CD?平面PDC
∴平面PDC⊥平面PAD
（II）cos＜，＞==
∴異面直線AE與PC所成的角為arccos
（III）假設BC邊上存在一點G滿足題設條件，令BG=x，
則G（1，x，0），作DQ⊥AG，則DQ⊥平面PAC，即DQ=1，
∵2S_△ADC=S_矩形ABCD
∴
∴=2，又∵=
是x=＜2
故線段BC上是否存在一點G，使得點D到平面PAG的距離為1
分析：（I）以A人坐標原點，AB，AD，AP分別為X，Y，Z軸的正方向，建立空間坐標系，分別求出直線CD，AD，AP的方向向量，代入向量數(shù)量積公式，可得CD與AD及AP均垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理，可得CD⊥平面PAD，進而根據(jù)面面垂直的判定定理，得到平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求出異面直線AE與PC的向量，代入向量夾角公式，即可得到異面直線AE與PC所成的角；
（Ⅲ）設BG=x，我們則求出G點坐標，作DQ⊥AG，易得DQ⊥平面PAG，即DQ=1，由此構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程即可得到x的值，進而求出BG的值．
點評：本題考查的知識點是點到平面的距離，異面直線及其所成的角，平面與平面垂直的判定，其中建立適當?shù)目臻g坐標系，將空間中直線與平面的夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答本題的關(guān)鍵．