【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,，其焦距為，點(diǎn)E為橢圓的上頂點(diǎn)，且．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)圓的切線(xiàn)l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證；

（3）在（2）的條件下，求的最大值．

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）由焦距可求出，由，可求出，，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）當(dāng)切線(xiàn)與軸垂直時(shí)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而證得；當(dāng)切線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程，聯(lián)立切線(xiàn)方程與橢圓方程，列韋達(dá)定理，利用，即可證明；

（3）當(dāng)切線(xiàn)與軸垂直時(shí)，；當(dāng)切線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，由、韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，可求出，借助基本不等式即可求出的最大值.

（1）由題意知，又，∴，∴，，

橢圓的方程為.

（2）（ⅰ）當(dāng)切線(xiàn)與軸垂直時(shí)，

交點(diǎn)坐標(biāo)為，，；

（ⅱ）當(dāng)切線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，

設(shè)切線(xiàn)為，，，

由圓心到直線(xiàn)距離為，，

聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，得，

，，

，

.

（3）當(dāng)切線(xiàn)與軸垂直時(shí)，；

當(dāng)切線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，由（2）知，，

∵，

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，.

綜上所述，的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在單調(diào)遞增，求的范圍；

（2）討論的單調(diào)性.

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【題目】2020年春節(jié)期間，全國(guó)人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭(zhēng)中.當(dāng)時(shí)武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護(hù)物資庫(kù)存不足，某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機(jī)，南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫(kù)存的醫(yī)用防護(hù)物資，得知消息后，立即決定無(wú)償捐贈(zèng)這批醫(yī)用防護(hù)物資，需要用A、B兩輛汽車(chē)把物資從南昌緊急運(yùn)至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線(xiàn)選擇，且選擇兩條路線(xiàn)所用的時(shí)間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)2000輛汽車(chē)，通過(guò)這兩條路線(xiàn)從南昌到武漢所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下：

所用的時(shí)間（單位：小時(shí)）

路線(xiàn)1的頻數(shù)

200

400

200

200

路線(xiàn)2的頻數(shù)

100

400

400

100

假設(shè)汽車(chē)A只能在約定交貨時(shí)間的前5小時(shí)出發(fā)，汽車(chē)B只能在約定交貨時(shí)間的前6小時(shí)出發(fā)（將頻率視為概率）.為最大可能在約定時(shí)間送達(dá)這批物資，來(lái)確定這兩車(chē)的路線(xiàn).

（1）汽車(chē)A和汽車(chē)B應(yīng)如何選擇各自的路線(xiàn).

（2）若路線(xiàn)1、路線(xiàn)2的“一次性費(fèi)用”分別為3.2萬(wàn)元、1.6萬(wàn)元，且每車(chē)醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬(wàn)元（其他費(fèi)用忽略不計(jì)），以上費(fèi)用均由生產(chǎn)商承擔(dān)，作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車(chē)到達(dá)時(shí)間分別計(jì)分，具體規(guī)則如下（已知兩輛車(chē)到達(dá)時(shí)間相互獨(dú)立，互不影響）：

到達(dá)時(shí)間與約定時(shí)間的差x（單位：小時(shí)）

該車(chē)得分

0

1

2

生產(chǎn)商準(zhǔn)備根據(jù)運(yùn)輸車(chē)得分情況給出現(xiàn)金排款，兩車(chē)得分和為0，捐款40萬(wàn)元，兩車(chē)得分和每增加1分，捐款增加20萬(wàn)元，若汽車(chē)A、B用（1）中所選的路線(xiàn)運(yùn)輸物資，記該生產(chǎn)商在此次援助活動(dòng)中援助總額為Y（萬(wàn)元），求隨機(jī)變量Y的期望值，（援助總額一次性費(fèi)用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，圖中直棱柱的底面是菱形，其中.又點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足：，.

（1）求證：四點(diǎn)共面，并證明∥平面.

（2）是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為？如果存在，求出的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】某校高三男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組，每輪游戲中，每小組兩人每人投籃兩次，投籃投進(jìn)的次數(shù)之和不少于次稱(chēng)為“優(yōu)秀小組”.小明與小亮同一小組，小明、小亮投籃投進(jìn)的概率分別為.

（1）若，，則在第一輪游戲他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；

（2）若則游戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為次，則理論上至少要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時(shí)的值.

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（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若，求的值．

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【題目】已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說(shuō)明理由.

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【題目】已知拋物線(xiàn)和圓，傾斜角為45°的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與圓相切．

（1）求的值；

（2）動(dòng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，動(dòng)點(diǎn)在上，若在點(diǎn)處的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，設(shè)．求證點(diǎn)在定直線(xiàn)上，并求該定直線(xiàn)的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(I)當(dāng)a=-1時(shí)，

①求曲線(xiàn)y= f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線(xiàn)方程；

②求函數(shù)f(x)的最小值；

(II)求證:當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與有且只有一個(gè)交點(diǎn).

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