在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓,設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C,動(dòng)點(diǎn)P在C上,C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B,且向量。求:
(Ⅰ)點(diǎn)M的軌跡方程; (Ⅱ)的最小值。
(Ⅰ) + =1 (x>1,y>2);(Ⅱ)||的最小值為3.
(Ⅰ)橢圓方程可寫為: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲線C 的方程為: x2+ =1 (x>0,y>0).
y=2(0<x<1) y '=-
設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2,
y '|x=x0= - ,得切線AB的方程為: y=- (x-x0)+y0 .
設(shè)A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x= , y= .
由= +得M的坐標(biāo)為(x,y), 由x0,y0滿足C的方程,
得點(diǎn)M的軌跡方程為: + =1 (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ ,
∴| |2= x2-1++5≥4+5=9.且當(dāng)x2-1= ,即x=>1時(shí),上式取等號(hào).
故||的最小值為3.
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