【題目】設數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=3an ， n∈N* ． 設Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，已知b1≠0，2bn﹣b1=S1Sn ， n∈N*
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=bnlog3an ， 求數(shù)列{cn}的前n項和Tn；
（Ⅲ）證明：對任意n∈N*且n≥2，有 + +…+ ＜ ．

【答案】解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比為3，首項a1=1的等比數(shù)列，

∴通項公式為an=3n﹣1．

∵2bn﹣b1=S1Sn，∴當n=1時，2b1﹣b1=S1S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．

∴當n＞1時，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2bn﹣1，∴bn=2bn﹣1，

∴{bn}是公比為2，首項a1=1的等比數(shù)列，

∴通項公式為bn=2n﹣1．

（Ⅱ）cn=bnlog3an=2n﹣1log33n﹣1=（n﹣1）2n﹣1，

Tn=020+121+222+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①

2Tn=021+122+223+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②

①﹣②得：﹣Tn=020+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n

=2n﹣2﹣（n﹣1）2n=﹣2﹣（n﹣2）2n

∴Tn=（n﹣2）2n+2．

（Ⅲ） = = = ≤ + + +…+

＜ + +…+ =

= （1﹣ ）＜


【解析】（Ⅰ）判斷an}是等比數(shù)列，求出通項公式，判斷{bn}是等比數(shù)列，求出通項公式為bn．（Ⅱ）化簡cn的表達式，利用錯位相減法求解Tn即可．（Ⅲ）化簡 并利用放縮法，通過數(shù)列求和證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系)．

練習冊系列答案
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【題目】已知向量 =（m，cos2x）， =（sin2x，n），設函數(shù)f（x）= ，且y=f（x）的圖象過點（ ， ）和點（ ，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若y=g（x）的圖象上各最高點到點（0，3）的距離的最小值為1，求y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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（Ⅰ）若a=﹣2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值．

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【題目】在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為 （其中t為參數(shù)）．現(xiàn)以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=6cosθ．
（Ⅰ） 寫出直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ） 過點M（﹣1，0）且與直線l平行的直線l1交C于A，B兩點，求|AB|．

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【題目】將三顆骰子各擲一次，記事件A=“三個點數(shù)都不同”，B=“至少出現(xiàn)一個6點”，則條件概率P（A|B），P（B|A）分別是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

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【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）試確定a的取值范圍，使得曲線y=f（x）上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P．

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【題目】定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f（x0）= ，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個均值點．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點．若函數(shù)f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是 ．

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【題目】已知f（x）是定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，若對任意的x∈（0，+∞），都有 ，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.0＜a≤5
B.a＜5
C.0＜a＜5
D.a≥5

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【題目】已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b對一切x＞﹣1都成立，則 的最小值是（ ）
A.e﹣1
B.e
C.1﹣e﹣3
D.1

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