Question

在如圖所示的幾何體中，ABCD為平行四邊形，∠ACB=

π

2

，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，AB=2EF．
（1）在線段AD上是否存在點(diǎn)M，使GM∥平面ABFE？并說(shuō)明理由；
（2）若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)．由已知條件推導(dǎo)出∠EGF=90°，BC=2FG，連結(jié)AF，得到四邊形AFGM為平行四邊形，由此能證明GM∥平面ABFE．
（2）分別以AC，AD，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-C的大�。�

解答： 解：（1）存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，
∵EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，∠ACB=

π

2

，
∴∠EGF=90°，且△ABC∽△EFG，
∵AB=2EF，∴BC=2FG，
連結(jié)AF，∵FG∥BC，F(xiàn)G=

1

2

BC，
在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，
∴AM∥BC，且AM=

1

2

BC，∴FG∥AM，且FG=AM，
∴四邊形AFGM為平行四邊形，∴GM∥FA，
又∵FA?平面ABFE，GM不包含于平面ABFE，
∴GM∥平面ABFE．
（2）∵∠ACB=90°，∴∠CAD=90°，
又EA⊥平面ABCD，∴AC、AD、AE兩兩垂直，
分別以AC，AD，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AC=BC=2AE=2，由題意得A（0，0，0），B（2，-2，0），
C（2，0，0），E（0，0，1），
∴

AB

=（2，-2，0），

BC

=（0，2，0），
又

EF

=

1

2

AB

，∴F（1，-1，1），

BF

=(-1，1，1)，
設(shè)平面BFC的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，
則

m

•

BC

=0，

m

•

BF

=0，
∴

2y1=0 -x1+y1+z1=0

，取x₁=1，得

m

=（1，0，1），
設(shè)平面ABF的法向量為

n

=(x，y，z)，
mj

n

•

AB

=0，

.

n

•

BF

=0，
∴

2x-2y=0 -x+y+z=0

，取x=1，得

n

=(1，1，0)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2 • 2

=

1

2

，
∴二面角A-BF-C的大小為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．