數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知an=
1
n(n+1)
．
（Ⅰ）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表達(dá)式；
（Ⅱ）請用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．
考點：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式
專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，可求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表達(dá)式．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟對這個猜想加以證明．
解答： 解：（Ⅰ）∵an=
1
n(n+1)
，
∴S1=
1
2
，S2=
2
3
，S3=
3
4
，
猜想Sn=
n
n+1
；
（Ⅱ）①n=1時，S1=
1
2
成立；
②假設(shè)n=k時，成立，即Sk=
k
k+1
，
則當(dāng)n=k+1時，Sk+1=Sk+ak+1=
k
k+1
+
1
(k+1)(k+2)
=
k+1
(k+1)+1
，
即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立
綜上①②知，Sn=
n
n+1
．
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查數(shù)學(xué)歸納法．?dāng)?shù)列的遞推式是高考中常考的題型，涉及數(shù)列的通項公式，求和問題，數(shù)列與不等式的綜合等問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)是左焦點，A、B分別是虛軸上、下兩端，C是它的左頂點，直線AC與直線FB相交于點D，若雙曲線的離心率為
2
，則∠BDA的余弦值等于（　�。�
A、
3
2
B、
2
3
-
6
6
C、
1
2
D、
3
-
2
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓（x-3）2+y2=4與圓x2+（y-4）2=16的位置關(guān)系為（　　）
A、內(nèi)切B、外切C、相交D、相離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

我校高1201、1202、1203、1204四個班，從中隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，各班被抽取學(xué)生的人數(shù)恰好成等差數(shù)列，人數(shù)最少的班被抽取了24人，抽取的學(xué)生的測試成績統(tǒng)計結(jié)果整理得如圖所示頻率分布直方圖，其中分?jǐn)?shù)在[120，130]的人數(shù)為6人．
（1）求抽取的總?cè)藬?shù)及各班被抽取的學(xué)生人數(shù)；
（2）在抽取的所有學(xué)生中，任取一名學(xué)生，求分?jǐn)?shù)不小于90分的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，ABCD為平行四邊形，∠ACB=
π
2
，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，AB=2EF．
（1）在線段AD上是否存在點M，使GM∥平面ABFE？并說明理由；
（2）若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點A（-1，-1），B（3，1），直線l過點C（0，
5
2
），且與AB平行，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是
3
，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大��；
（Ⅲ）在線段AA1上是否存在一點E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
x
．
（Ⅰ）寫出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，并用定義證明；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）圖象在點P（1，f（1））處的切線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某校高三實驗班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，其可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：

（Ⅰ）求考試分?jǐn)?shù)[110，120）之間的人數(shù)，并依據(jù)莖葉圖指出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是多少？
（Ⅱ）若要從分?jǐn)?shù)在[110，130）之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，求在抽取的試卷中，至少有一份的分?jǐn)?shù)在[110，120）之間的概率．

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同步練習(xí)冊答案